Родился 15 января 1930 года в селе Чекмагуш Старокалмашевской волости Белебеевского кантона Башкирской АССР (ныне центр Чекмагушевского района Республики Башкортостан). Умер 10 февраля 1996 года в г.Салавате. После успешного окончания Уфимского театрально-художественного училища Рим Галеевич связал свою судьбу с Салаватским башкирским драматическим театром, тогда он еще назывался Аургазинским колхозно-совхозным театром.
С 1953 по 1990 год Рим Галеевич служил актером Салаватского драмтеатра. Одновременно в 1969-75 годы работал режиссером и главным режиссером, сменив Лека Валеева, с 1972 по 1974 годы был и.о. директора, с 1985 по 1990 годы заведовал литературной частью театра.

Как актер Рим Баянов проявил себя последовательным представителем реалистического направления в национальном театральном искусстве. Созданные им образы всегда отличались точной социальной характеристикой, яркой эмоциональностью и выразительностью.
Его дебютной актерской ролью стал образ Гарая в спектакле по пьесе Наки Исанбета «Райхан» в 1953 году. Салаватские зрители заметили, что в театр пришел новый интересный актер с собственной трактовкой образа и оригинальным видением.
Среди его основных ролей — Фахри («Черноликие» по одноименной повести Мажита Гафури), Бахтигарей и Тайфур («Бахтигарей» и «Матери ждут сыновей» Асхата Мирзагитова), Дервиш («В ночь лунного затмения» Мустая Карима), Умар («Иргиз» по одноименному роману Хадии Давлетшиной), Наджми («Чудак» Назыма Хикмета), Бергойн («Ученик дьявола» Бернарда Шоу).
В 1965 году театральные критики единодушно признали Рима Баянова лучшим исполнителем роли Эзопа в России. Он блестяще сыграл заглавную роль в спектакле режиссера Вазиха Сайфуллина по пьесе Гильерми Фигейреду «Эзоп, или Лиса и виноград».
За большой вклад в развитие театрального искусства и многолетнюю плодотворную деятельность Рим Галеевич был удостоен почетных званий заслуженного (1974г.) и народного артиста (1980г.) Башкирской АССР.